Une suite géométrique issue de la subdivision tétraédrique d’un octaèdre régulier

Introduction

Parmi les nombreuses façons de générer des suites d’entiers à partir de constructions géométriques, certaines se distinguent par leur simplicité formelle et leur richesse structurante. La nouvelle suite : Number of tetrahedra formed by iterative 4-ary subdivision of a regular stellar bitetrahedron (Stella Octangula configuration), starting from 8 initial tetrahedra est de celles-là.

Elle émerge d’un processus élémentaire et pourtant puissamment combinatoire :

subdiviser récursivement un ensemble de tétraèdres dans l’espace à partir d’un octaèdre régulier.

Décomposition initiale : de l’octaèdre au Stella Octangula

Considérons un octaèdre régulier, polyèdre de Platon à 8 faces triangulaires. En disposant deux tétraèdres réguliers emboîtés dans un cube (symétriquement opposés), on forme la Stella Octangula : une étoile géométrique dont l’intersection forme un octaèdre central.

Cet octaèdre peut être décomposé en 8 tétraèdres réguliers identiques, chacun occupant une portion symétrique de l’espace. Cette configuration initiale fournit le point de départ :

$$a(1)=8$$

Subdivision récursive 4-aire

À chaque étape suivante, on applique la règle suivante :

Chaque tétraèdre est subdivisé en 4 tétraèdres plus petits, congruents au sein du volume initial.

Ce processus est récursif, homogène et volume-remplissant :

• Tous les tétraèdres générés à un niveau n sont subdivisés à l’identique au niveau n+1,

• Aucun chevauchement, aucune lacune : le volume global est conservé,

• La symétrie octaédrique est préservée à chaque étape.

 

La nouvelle suite

Le nombre total de tétraèdres après n étapes est donné par la formule fermée :

a(n)=8(4n−1)3,n≥1a(n) = \frac{8(4^n – 1)}{3}, \quad n \geq 1a(n)=38(4n−1)​,n≥1

Les premiers termes sont :

La récurrence vérifiée par cette suite est :

$$a(n)=5a(n-1)-4a(n-2),n\ge 3$$

Et plus directement :

a(n)=a(n−1)+8⋅4n−1a(n) = a(n-1) + 8 \cdot 4^{n-1}a(n)=a(n−1)+8⋅4n−1

Chaque étape ajoute 8 fois plus de tétraèdres que celle d’avant à l’ordre n-1, ce qui traduit une croissance exponentielle strictement contrôlée.

Interprétation fractale

Ce processus produit une structure fractale tridimensionnelle, analogue en 3D à ce que représente le tapis de Sierpiński en 2D.

La fractale :

• Est auto-similaire à chaque étape,

• Suit un schéma de subdivision régulier et affine,

• Conserve l’intégrité du volume global à toute profondeur.

Il s’agit donc d’un fractal de remplissage, et non d’un fractal lacunaire.

Propriétés géométriques

Comparaisons

Cette suite est numériquement liée à la suite classique :

A002450(n)=4n−13A002450(n) = \frac{4^n – 1}{3}A002450(n)=34n−1​

Mais elle s’en distingue :

• par son origine géométrique canonique (le facteur 8 est imposé par la structure initiale),

• par son rôle de modélisation spatiale réelle,

• par ses applications spécifiques en 3D (infographie, simulation physique, structures hiérarchiques).

Potentiels

• Maillages adaptatifs 3D : chaque subdivision affine le maillage de façon uniforme, sans compromettre la topologie.

• Fractales tridimensionnelles : le modèle génère une structure pleinement volumique, auto-similaire.

• Cristallographie théorique : certaines structures atomiques peuvent être modélisées par des emboîtements de tétraèdres.

• Visualisation pédagogique : outil idéal pour introduire la notion de fractale 3D concrète.

Conclusion

La suite en cours de proposition sur l’encyclopédie OEIS est plus qu’une simple formule :
elle représente un objet géométrique canonique, structurant, doté d’une cohérence interne forte, d’une lien explicite avec les solides réguliers et d’un potentiel transdisciplinaire manifeste.

Elle incarne la jonction entre forme, nombre et récursion, dans un cadre purement tridimensionnel.