Ces années que nos horloges numériques ne montreront jamais

Ces années que nos horloges numériques ne montreront jamais : une analyse mathématique et philosophique du filtre temporel
Digital Time Display and Calendar Years: A Mathematical and Philosophical Analysis of Temporal Perception

Le hasard des lectures numériques réserve parfois des paradoxes temporels et met en évidence des conceptions culturelles de la relation au temps. Partons d’une expérience de pensée simple…

Une observation anodine

Il est 19:57 (format 24 h, usage courant en Europe). En jetant un coup d’œil à mon téléphone, mon esprit fait un saut dans le temps : je lis « 1957 ». A ce moment, je sais que ce n’est pas le réel qui s’affiche, mais une convention qui me projette son récit. Me vient alors une question en apparence triviale — toutes les années peuvent-elles s’afficher sur un cadran au format 24 h ?

Réponse : non. Pas plus que pour tous les autres formats.

De l’analogie à la règle

Une horloge numérique affiche HH:MM (heures : minutes). Pour qu’une année ABCD (AB = deux premiers chiffres, CD = deux derniers) se lise comme une heure valide, deux conditions strictes s’imposent :

  • Heures : AB ∈ [00, 23]
  • Minutes : CD ∈ [00, 59]

Condition d’affichabilité : une année est « affichable » si et seulement si AB ∈ [00, 23] et CD ∈ [00, 59].

Application et exemples

Années valides

  • 1957 → AB = 19 (<= 23), CD = 57 (<= 59)
  • 2024 → AB = 20 (<= 23), CD = 24 (<= 59)
  • 2359 → AB = 23 (<= 23), CD = 59 (<= 59) → dernière année valide

Séquence numérique =>

NOM :
Four-digit numbers interpretable as 24-hour times HH:MM

DONNÉES :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29, 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55, 56,57,58,59,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115

COMMENTAIRES :
Definition: a(n) = the n-th "year" in [0000..9999] that is also a valid 24-hour time HH:MM, i.e., numbers of the form 100·h + m with 0 <= h <= 23 and 0 <= m (XX+1)00).
Cumulative counting function b(N) = #{ k <= N : k is valid HH:MM }: increases by 1 inside each block of 100, reaches b(2359) = 1440, then stays constant.
12-hour analogue (no 00:MM): numbers 100*h + m with 1 <= h <= 12 and 0 <= m <= 59 (720 terms).
Bijection with the Cartesian product [0,23] x [0,59].
Even terms: exactly 720 (half). Multiples of 3: exactly 480 (one third).
Prime members begin: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Squares in sequence begin: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Interpretive note: this finite set illustrates a "temporal filter" imposed by notation.
Philosophical note: This sequence represents a "temporal filter" - 85.6% of possible 4-digit years cannot be displayed on a 24-hour clock, illustrating how notational conventions shape our perception of time.

LIENS :
Présentation générale

Séquence numérique

FORMULE :
a(n) = 100*floor(n/60) + (n mod 60) for 0 <= n < 1440.
Equivalently, for n = 60*h + m with 0 <= h <= 23, 0 <= m <= 59: a(n) = 100*h + m.
Recurrence: a(n+60) = a(n) + 100 for 0 <= n <= 1379.

EXEMPLE :
a(0) = 0 = 00:00.
a(59) = 59 = 00:59.
a(60) = 100 = 01:00.
a(1439) = 2359 = 23:59 (last term).

Programme Maple :
with(numtheory):
A := n -> 100*floor(n/60) + (n mod 60):
seq(A(n), n=0..1439);
isValid := y -> floor(y/100) <= 23 and (y mod 100) <= 59;

Programme Mathematica :
a[n_] := 100*Quotient[n, 60] + Mod[n, 60];
Table[a[n], {n, 0, 1439}]

isValid[y_] := Quotient[y, 100] <= 23 && Mod[y, 100] <= 59;

PROGRAMME (autre langage) :
(Python)

def a(n: int) -> int:
# n-th valid number (0 <= n bool:
return 0 <= y <= 9999 and (y//100) <= 23 and (y % 100) <= 59

def gap_counts():
seq = full_sequence()
gaps = [seq[i+1] - seq[i] for i in range(len(seq)-1)]
return {1: gaps.count(1), 41: gaps.count(41)} # {1: 1416, 41: 23}

RÉFÉRENCES CROISÉES :
Equals the first 1440 terms of A055643 (Babylonian numbers). Finite subsequence of A055643, terminated by the constraint that terms must represent valid 24-hour times.


Subsequence of A001477, containing exactly those n ∈ [0,9999] with n//100 <= 23 and n%100 <= 59

Cf. A002113 (palindromic numbers) - 16 common terms from this sequence
Cf. A005843 (even numbers): Intersection has 720 terms: even numbers ABCD with AB<=23, CD<=59.
Cf. A008585 (multiples of 3) intersection has 480 terms in [0, 2358].

AUTEUR :
Jean-Louis Lascoux — 2025-12-06