Mathématiques & Géométrie

Introduction

En explorant les propriétés géométriques des tétraèdres réguliers, dont j’utilise les principes systémiques dans le cadre du développement de l’ingénierie systémique relationnelle, pour assurer l’harmonie conceptuelle, avec un équilibre méthodologique des raisonnements, j’ai développé un nouveau concept. Celui-ci met en regard deux tétraèdres réguliers susceptibles de se former en Stella Octangula – cette élégante étoile à huit branches formée par l’interpénétration de deux tétraèdres réguliers. Par delà la symbolique que peut représenter cette configuration que j’ai nommé Bi-Tétraèdre Stellaire, j’ai en fait découvert une structure fractale remarquable qui ouvre des perspectives sur les séquences mathématiques.

L’observation

La Stella Octangula est connue au moins depuis la Renaissance. Lorsqu’on la décompose par ce que l’on perçoit immédiatement, on identifie 8 tétraèdres externes et l’œuf central est un octaèdre. Ainsi, ce n’est qu’un début : cette décomposition n’est pas seulement géométrique – elle est le point de départ d’un processus fractal infini.

Un processus de subdivision volumique

À partir des 8 tétraèdres initiaux, on peut appliquer une subdivision récursive :

1. Étape 1 : 8 tétraèdres (décomposition initiale)
2. Étape 2 : Chaque tétraèdre se divise en 4 → 8 + 32 = 40 tétraèdres
3. Étape 3 : Les 32 nouveaux se divisent → 40 + 128 = 168 tétraèdres
4. Étape 4 : 168 + 512 = 680 tétraèdres

Une formule mathématique

Cette croissance suit une loi précise :

a(n) = 8 × (4ⁿ - 1) / 3

où n représente le nombre d’étapes de subdivision.

Une Séquence : OEIS

Les premiers termes de cette séquence sont :

8, 40, 168, 680, 2728, 10920, 43688, 174760, 699048, 2796200...

Des propriétés remarquables

• Croissance exponentielle : facteur 4 à chaque étape
• Structure fractale : auto-similarité à toutes les échelles
• Symétrie octaédrique : héritée de la configuration initiale

Visualisation

Applications et Perspectives

Cette séquence trouve des applications potentielles en :

• Géométrie computationnelle : maillages tétraédriques adaptatifs
• Cristallographie : modélisation de structures complexes
• Fractales 3D : nouvelle famille de fractales volumiques

Code de Génération

Pour les intéressés, voici comment générer les termes de cette séquence (Python) :

def stella_bitetrahedra(n):
“””Nombre total de tétraèdres après n subdivisions récursives 4-aires,
en partant de 8 tétraèdres initiaux issus de la Stella Octangula.”””
return 8 * (4**n – 1) // 3

# Afficher les 10 premiers termes
for i in range(1, 11):
print(f”a({i}) = {stella_bitetrahedra(i)}”)

Et après ?

Cette découverte illustre comment des structures géométriques classiques peuvent encore révéler des propriétés mathématiques inédites. La stella octangula, étudiée depuis des siècles, a désormais un compagnon qui offre déjà une vaste richesse structurelle… Un ensemble de formules sont dans le tuyau pour enrichir ce travail qui ne va pas aller sans surprendre par ses perspectives…