A Bifractal Integer Sequence from Recursive Subdivision of the Stella Octangula
Croissance bifractale tétraédrique : une suite entière dérivée de la subdivision récursive de la Stella Octangula
Fractale stella octangula : une suite géométrique bifractale à potentiel théorique et industriel
Introduction philosophique
La manière dont nous voyons le monde conditionne profondément la manière dont nous le vivons. Cela peut sembler paradoxal, voire non académique, de commencer une étude mathématique par une réflexion d’ordre philosophique. Tant pis. Je n’ai pas été formé par les voies académiques traditionnelles : je suis autodidacte — en tout, y compris dans ce que j’appelle le tourisme existentiel.
Certaines visions du monde projettent partout des arrondis, des courbes lissées, comme si adoucir les contours était la voie naturelle vers l’harmonie. C’est une illusion. Il n’y a rien de plus complexe, ni de plus exigeant, que d’arrondir véritablement les angles. Car ce geste — en apparence simple — exige un ajustement précis entre des éléments dissemblables, une gestion des tensions, et une tendance à négocier les points de rupture. On y retrouve les fondements des modèles de pensée économiques, administratifs, managériaux, avec tout le lexique qui les façonnent.
C’est à partir de cette relecture fondatrice entre angle et arrondi, entre structure et adaptation, que je propose ici une approche bifractale : géométrique dans sa forme, mathématique dans son expression, philosophique dans sa visée.
| Définie en 1509 par Luca Pacioli dans son traité De Divina Proportione, l’objet dont le nom de Stella Octangula sera donné par Johannes Kepler, est initialement pensée comme un symbole de proportion divine, dans l’esprit néoplatonicien de la Renaissance. Les illustrations de Léonard de Vinci lui confèrent un statut emblématique d’harmonie géométrique incarnée.
Elle est redécouverte en 1609 par Johannes Kepler, qui y voit une forme parfaite, résultant de l’interpénétration de deux tétraèdres réguliers inversés. Plus tard, Leonhard Euler (1707–1783) formule la relation topologique fondamentale V−E+F=2, marquant une étape décisive dans la formalisation des structures closes. Ce progrès, en apparence neutre, tend paradoxalement à enfermer la Stella Octangula dans une lecture statique et figée. Ma proposition s’inscrit dans une tout autre logique : réouvrir la figure vers des perspectives dynamiques et systémiques, en la réinscrivant dans le champ des fractales, concept introduit dans les années 1970 par Benoît Mandelbrot. L’application bifractale présentée ici vise à détacher la Stella Octangula de sa clôture topologique traditionnelle, pour en faire le support d’une croissance récursive ajustative, à la fois volumique (8-aire) et planaire (4-aire). C’est cette réinterprétation structurelle qui justifie mon choix de l’appeler désormais Bi-Tétraèdre Stellaire : · une appellation qui insiste sur son potentiel combinatoire, · sa dynamique de subdivision (organisée autour d’un Fractocentre®, et non d’un barycentre académique), · et sa capacité de déploiement hiérarchisé dans des modèles fractals d’ingénierie. Il ne s’agit plus d’un simple objet géométrique : c’est un modèle opératif, à la croisée de la précision mathématique, de la complexité fractale, et d’une visée systémique ajustative. |
Dans cette recherche, la Stella Octangula– sur laquelle je reviens en nommant la structure « Bi-Tétraèdre stellaire », devient plus qu’un objet de curiosité géométrique : elle s’impose comme une autre forme de pensée. En effet, formée par l’interpénétration parfaite de deux tétraèdres opposés, elle incarne une tension équilibrée entre dualité et symétrie, entre stabilité et expansion.
Ce n’est pas tant la figure elle-même qui importe, que la manière dont elle peut être subdivisée, régénérée, complexifiée — sans jamais perdre son principe d’organisation, avec une tonalité nouvelle associée à la liberté. Ce processus de subdivision, je le nomme ici bifractale, parce qu’il repose sur deux lois de croissance distinctes mais coordonnées. L’une est volumique, l’autre est planaire ; l’une s’appuie sur la démultiplication, l’autre sur la structuration. Ensemble, elles génèrent une dynamique hiérarchique d’une remarquable cohérence.
Mais pourquoi s’y intéresser ? Parce qu’en modélisant cette croissance, en l’analysant sous forme d’une suite entière bien définie, nous accédons à plus qu’un simple jeu de nombres. Nous touchons à un modèle opératif d’ajustement. Un modèle qui relie le discret et le continu, le local et le global, l’ordre mathématique et la plasticité du réel.
Ce lien entre pensée, structure et ajustement n’est pas nouveau. Il remonte à Pythagore, souvent considéré comme l’inventeur du mot philosophie – philo-sophia, l’amour de la sagesse. D’après Diogène Laërce[1], Pythagore aurait introduit ce terme pour désigner une posture de recherche désintéressée, tournée vers l’harmonie des lois universelles. Mais il ne s’agissait pas d’une sagesse vague ou contemplative : pour Pythagore, cette quête passait nécessairement par les nombres, les figures, les rapports. C’est à travers le langage mathématique et géométrique qu’il percevait l’ordre caché du cosmos, et c’est à travers cette exigence qu’il fondait une discipline intérieure.
Revenir à la Stella Octangula, Bi-Tétraèdre Stellaire, avec une attention moderne, combinatoire, algorithmique, n’est donc pas un détournement du sens philosophique initial. C’est, au contraire, une fidélité profonde à l’idée pythagoricienne d’une sagesse en actes, qui cherche à comprendre le monde en le structurant — non pour le simplifier, mais pour mieux épouser sa complexité.
C’est ainsi que j’ai développé un ensemble théorico-pratique qui touche à la fois au fonctionnement personnel (la théorie du cerveau corrélatif et de l’harmonisation ajustative (TCC-HA), la théorie de l’ajustativité temporelle (T.AJT), les deux réunies en Théorie de l’Ajustativité Générale (#TAG). C’est ambitieux, j’en conviens. Pour autant, cette approche est cohérente et se retrouve opérationnelle, en premier lieu, dans les contextes relationnels humains, puisque c’est là que j’ai développé la première application de mon modèle géométrique, la médiation professionnelle, la profession de médiateur fondée sur la qualité relationnelle et l’Ingénierie Systémique Relationnelle®.
À partir de cette articulation entre structure géométrique, dynamique d’ajustement et modélisation relationnelle, nous pouvons formuler une expression mathématique rigoureuse de la croissance bifractale associée à la Stella Octangula.
Cette modélisation conduit naturellement à une suite entière a(n), dont chaque terme représente le nombre total de tétraèdres présents à l’itération n d’un processus récursif de subdivision.
Ce processus repose sur deux lois complémentaires :
- une subdivision volumique 8-aire, appliquée aux tétraèdres externes de la structure ;
- une subdivision planaire 4-aire, centrée sur le cœur géométrique, le fractocentre®.
L’interaction de ces deux règles définit une dynamique de croissance hiérarchisée, que la suite a(n)a(n)a(n) encode intégralement.
Jean-Louis Lascoux – Bordeaux – 2025/08/02
[1] Diogène Laërce, Vies et doctrines des philosophes illustres, Livre VIII, §12.
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A386761 : une suite géométrique issue de la subdivision tétraédrique d’un octaèdre régulier
A386821 : Total tetrahedra in bifractal subdivision of stella octangula
